Claude formalisiert den fermatschen Satz in Lean in 11 Tagen

Anthropic gab am 4. September 2026 bekannt, dass seine KI Claude den ersten vollständig computerverifizierten Beweis des großen fermatschen Satzes erstellt hat. Der Satz besagt, dass es keine positiven ganzen Zahlen a, b, c gibt, die a^n + b^n = c^n für eine ganze Zahl n größer als 2 erfüllen. Mehr als drei Jahrzehnte nachdem der Mathematiker Andrew Wiles 1995 seinen 129 Seiten langen Beweis veröffentlicht hatte, war dessen Logik nie zuvor von Grund auf maschinell überprüft worden. Claude arbeitete elf Tage lang weitgehend autonom und produzierte dabei rund 13 Millionen Zeilen Code in Lean, einem computergestützten Beweisassistenten.

Geleitet wurde das Projekt von Tianyi Peng, einem Anthropic-Forscher, der sich mit KI-gestützter mathematischer Formalisierung beschäftigt. Im Laufe der Arbeit bewies Claude rund 30.300 Zwischensätze in computerverifizierbarer Form, von denen etwa 29.500 tatsächlich im finalen Beweis verwendet wurden. Der entstandene Code ist mehr als fünfmal so umfangreich wie Mathlib, die zentrale Community-Mathematikbibliothek für Lean. Dutzende Claude-Agenten arbeiteten parallel: Sie definierten Konzepte und bewiesen Zwischensätze, bevor sie sich an immer schwierigere Aussagen wagten. Erste Versuche scheiterten dabei mehrfach – die Agenten verloren den Überblick über den Gesamtstand des Projekts und konnten die Ergebnisse der anderen nicht mehr wirksam wiederverwenden. Rund 7 Prozent der nicht wiederholenden Codezeilen im finalen Beweis stammen aus genau diesen gescheiterten Versuchen.

Was ein computerverifizierter formaler Beweis überhaupt ist

Ein für menschliche Leser verfasster mathematischer Aufsatz überspringt oft Schritte, die als "offensichtlich" gelten. Ein Beweisassistent wie Lean kann das nicht: Jeder noch so triviale Schritt muss vollständig ausformuliert werden. Einen bestehenden Beweis in diese Form zu übertragen, nennt man "Formalisierung". Da ein einziges gebrochenes logisches Glied alles Folgende ungültig machen kann, erhält ein formalisierter Beweis erst dann eine von menschlicher Kontrolle unabhängige Korrektheitsgarantie, wenn er die mechanische Prüfung durch Lean besteht. Claudes Beweis stützt sich ausschließlich auf die drei Standardaxiome von Lean, ganz ohne Verwendung von "sorry" – dem Platzhalter, der einen Schritt vorübergehend unbewiesen lässt. Ein Vergleichswerkzeug bestätigte, dass die bewiesene Aussage exakt der Formulierung des großen fermatschen Satzes in Mathlib entspricht, und ein unabhängiger, in Rust geschriebener Lean-Kernel namens "nanoda" überprüfte mehr als eine Million Deklarationen fehlerfrei.

Warum der große fermatsche Satz ein derart symbolträchtiger Fall ist

Der Satz verdankt seinen Namen einer Notiz, die der französische Mathematiker Pierre de Fermat um 1637 an den Rand eines Exemplars von Diophants "Arithmetica" kritzelte: Er habe "einen wahrhaft wunderbaren Beweis" gefunden, für den der Rand zu schmal sei. Mehr als 350 Jahre lang suchten Generationen von Mathematikern vergeblich nach diesem Beweis. 1908 wurde ein Preisgeld ausgesetzt, das heute etwa ein bis zwei Millionen Dollar entspräche; allein im ersten Jahr gingen 621 fehlerhafte Beweisversuche ein. Im Juni 1993 stellte Andrew Wiles seinen Beweis in einer dreitägigen Vortragsreihe vor, doch rund zwei Monate später entdeckte ein Gutachter während der Überprüfung eine kritische Lücke. Wiles brauchte fast ein Jahr, gemeinsam mit seinem früheren Doktoranden Richard Taylor, um sie zu schließen, bevor er im Mai 1995 die endgültige Fassung veröffentlichte – 129 Seiten, deren Überprüfung die mathematische Gemeinschaft Monate kostete. Für internationale Leser bemerkenswert: Die Taniyama-Shimura-Vermutung, auf der Wiles' Beweis aufbaut, wurde in den 1950er-Jahren von den japanischen Mathematikern Yutaka Taniyama und Goro Shimura formuliert. Was Claude formalisiert hat, ist eine vereinfachte Version von Wiles' Beweis, die auf Darmon, Diamond und Taylor zurückgeht.

Diese außergewöhnliche Leistung der Autoformalisierung, die laut Anthropic-Forschern nur elf Tage in Anspruch nahm, beweist den großen fermatschen Satz ohne jede Annahme außer den Axiomen der Mathematik. Dabei lässt sich die Autoformalisierung von Algebra, harmonischer Analysis, Geometrie und Zahlentheorie beobachten, und man lernt, dass die von KI erzeugten Autoformalisierungs-Artefakte inzwischen robust genug sind, um darauf aufzubauen: Der Beweis ist vielschichtig aufgebaut.

• Arbeitsdauer: elf Tage, größtenteils autonom
• Erzeugter Lean-Code: rund 13 Millionen Zeilen, mehr als 5-mal so viel wie Mathlib
• Bewiesene Sätze: rund 30.300, davon 29.500 im finalen Beweis verwendet
• Verbrauchte Output-Token: rund 6 Milliarden, mit einem Forschungsmodell vergleichbar mit Claude Fable 5.1
• Verwendete Axiome: nur die 3 Standardaxiome von Lean, null Verwendungen von "sorry"

Was Claude tatsächlich getan hat – und was nicht

Wichtig festzuhalten: Claude hat Wiles' ursprünglichen Beweis nicht selbstständig "entdeckt". Die mathematische Argumentation wurde 1995 von Wiles und seinen Mitarbeitern erarbeitet; Claudes Aufgabe bestand darin, eine vereinfachte Version dieser Argumentation in die strenge symbolische Form zu übertragen, die Lean prüfen kann, und sie anschließend mechanisch kontrollieren zu lassen – das ist Formalisierung, keine Entdeckung. Das unterscheidet sich deutlich von jüngeren KI-Arbeiten zur Riemann-Vermutung, die auf tatsächlich neue Mathematik abzielten. Anthropic macht ausdrücklich klar, dass die Neuheit hier in der Verifikation liegt, nicht in der Entdeckung. Die Arbeit stützte sich auf Prove2Me, eine kollaborative Plattform zur mathematischen Formalisierung, die von Tianyi Peng entwickelt wurde und Abhängigkeiten zwischen Sätzen als gerichteten azyklischen Graphen verwaltet, damit mehrere Claude-Agenten wissen, welchen Satz sie als Nächstes angehen sollen. Menschliche Eingriffe beschränkten sich auf hochrangige Anweisungen von Peng wie "die Jacobi-Varietät als Schema priorisieren".

Je mehr mathematische Beweise KI produziert, desto größer wird die Last, sie von Hand zu prüfen. Anthropic geht davon aus, dass es künftig üblich wird, neben einem für menschliche Leser bestimmten Aufsatz auch einen formalisierten, computerprüfbaren Beweis vorzulegen. Kevin Buzzard, der seit 2024 am Imperial College London ein mehrjähriges Gemeinschaftsprojekt zur Formalisierung des großen fermatschen Satzes in Lean leitet – dessen anfänglicher Bauplan allein schon 86 Seiten umfasst –, bezeichnete diesen Erfolg als großen Schritt hin zur Autoformalisierung der modernen mathematischen Literatur: Sie helfe, Fehler im bestehenden Korpus aufzuspüren, entlaste Gutachter und ermögliche es, von KI erzeugte Mathematik streng zu prüfen.

Für ein deutsches Technologie- oder Forschungsunternehmen reicht die Lehre über einen mathematischen Rekord hinaus. Dieselben Beweisassistenten, die diesen Satz verifiziert haben, kommen bereits zur Verifikation kryptografischer Protokolle, zur Prüfung von Compilern sowie für sicherheitskritischen Code in der Luftfahrt oder im Chip-Design zum Einsatz – Bereiche, in denen deutsche Forschungseinrichtungen wie das DFKI oder mehrere technische Universitäten seit Langem an formalen Methoden arbeiten. Dass ein KI-Agent innerhalb weniger Tage statt Jahre Millionen Zeilen maschinell geprüften Beweiscode erzeugen kann, ist ein konkretes Signal: Formale Verifikation, lange als zu langsam und zu spezialisiert für den breiten Einsatz gegolten, könnte für Ingenieurteams außerhalb der reinen Mathematik deutlich zugänglicher werden – vorausgesetzt, wie Anthropic selbst betont, diese Verifikationsfähigkeit wird niemals mit der Fähigkeit verwechselt, eigenständig neue Mathematik zu entdecken.