Claude formaliza a prova do teorema de Fermat em Lean

A Anthropic anunciou em 4 de setembro de 2026 que sua IA Claude produziu a primeira demonstração do último teorema de Fermat totalmente verificável por computador, do início ao fim. O teorema afirma que não existem inteiros positivos a, b, c que satisfaçam a^n + b^n = c^n para nenhum inteiro n maior que 2. Mais de trinta anos depois de o matemático Andrew Wiles publicar sua demonstração de 129 páginas em 1995, ninguém havia verificado mecanicamente toda a sua lógica. Claude trabalhou de forma majoritariamente autônoma por 11 dias e produziu cerca de 13 milhões de linhas de código em Lean, um assistente de provas para computador.

O projeto foi liderado por Tianyi Peng, pesquisador da Anthropic especializado em formalização matemática com IA. Ao longo do trabalho, Claude demonstrou, de forma verificável por computador, cerca de 30.300 teoremas intermediários, dos quais aproximadamente 29.500 foram usados na demonstração final. O código produzido é mais de cinco vezes maior que o Mathlib, a principal biblioteca matemática comunitária do Lean. Dezenas de agentes Claude trabalharam em paralelo definindo conceitos e provando teoremas intermediários antes de avançar para afirmações mais difíceis. As primeiras tentativas fracassaram: os agentes perdiam a noção do estado geral do projeto e paravam de reaproveitar de forma eficaz os resultados uns dos outros. Cerca de 7% das linhas não repetitivas da demonstração final vêm dessas tentativas fracassadas.

O que é uma demonstração formal verificada por computador

Um artigo de matemática escrito para leitores humanos costuma pular passos considerados "óbvios". Um assistente de provas como o Lean não pode: cada passo, por mais trivial que seja, precisa ser escrito por extenso. Reescrever uma demonstração existente nesse formato é chamado de "formalização". Como um único elo lógico quebrado pode invalidar tudo o que vem depois, uma demonstração formalizada só ganha uma garantia de correção independente da revisão humana depois de passar pela checagem mecânica do Lean. A de Claude depende apenas dos três axiomas padrão do Lean, sem nenhum uso de "sorry" — o marcador que permite deixar um passo temporariamente sem prova. Uma ferramenta de comparação confirmou que o enunciado provado corresponde ao do último teorema de Fermat registrado no Mathlib, e um núcleo Lean independente escrito em Rust, chamado "nanoda", verificou mais de um milhão de declarações sem erro.

Por que o teorema de Fermat é um caso tão emblemático

O teorema leva o nome de uma anotação que o matemático francês Pierre de Fermat rabiscou por volta de 1637 na margem de um exemplar da Aritmética de Diofanto, afirmando ter encontrado "uma demonstração verdadeiramente maravilhosa" que a margem era estreita demais para conter. Por mais de 350 anos, gerações de matemáticos procuraram essa demonstração sem sucesso. Em 1908, foi oferecido um prêmio equivalente hoje a um ou dois milhões de dólares para quem a encontrasse; só no primeiro ano chegaram 621 tentativas erradas. Em junho de 1993, Andrew Wiles anunciou sua demonstração em uma série de palestras de três dias, mas cerca de dois meses depois, durante a revisão, um avaliador encontrou uma falha crítica. Levou quase um ano, com a ajuda de seu ex-aluno Richard Taylor, para corrigi-la antes de publicar a versão definitiva em maio de 1995 — 129 páginas, que a comunidade matemática levou meses para verificar. Um detalhe interessante para o leitor internacional: a conjectura de Taniyama-Shimura, base da demonstração de Wiles, foi formulada nos anos 1950 pelos matemáticos japoneses Yutaka Taniyama e Goro Shimura. O que Claude formalizou é uma versão simplificada da demonstração de Wiles, feita por Darmon, Diamond e Taylor.

Essa extraordinária conquista de autoformalização, que segundo os pesquisadores da Anthropic levou apenas 11 dias, demonstra o teorema de Fermat sem nenhuma hipótese além dos axiomas da matemática. No processo, vemos a autoformalização de álgebra, análise harmônica, geometria e teoria dos números, e aprendemos que os artefatos de autoformalização produzidos por IA já são robustos o bastante para servir de base para outros trabalhos: a demonstração é construída em várias camadas.

• Duração do trabalho: 11 dias, majoritariamente autônomo
• Código Lean produzido: cerca de 13 milhões de linhas, mais de 5 vezes o Mathlib
• Teoremas provados: cerca de 30.300, dos quais 29.500 usados na demonstração final
• Tokens de saída consumidos: cerca de 6 bilhões, com um modelo de pesquisa comparável ao Claude Fable 5.1
• Axiomas usados: apenas os 3 axiomas padrão do Lean, zero usos de "sorry"

O que Claude realmente fez — e o que não fez

Vale destacar que Claude não "descobriu" sozinho a demonstração original de Wiles. O raciocínio matemático foi estabelecido por Wiles e seus colaboradores em 1995; o trabalho de Claude foi reescrever uma versão simplificada desse raciocínio na forma simbólica rigorosa que o Lean consegue verificar, e então submetê-la à checagem mecânica — isso é formalização, não descoberta. É diferente dos trabalhos recentes de IA sobre a hipótese de Riemann, voltados a produzir matemática genuinamente nova. A própria Anthropic é explícita: a novidade aqui está na verificação, não na descoberta. O trabalho usou o Prove2Me, uma plataforma colaborativa de formalização matemática criada por Tianyi Peng, que organiza as dependências entre teoremas em um grafo acíclico dirigido para que vários agentes Claude saibam qual teorema atacar em seguida. A intervenção humana se limitou a instruções de alto nível de Peng, como "priorizar o jacobiano como esquema".

Conforme a IA produz mais demonstrações matemáticas, cresce o peso de revisá-las manualmente. A Anthropic espera que produzir uma demonstração formalizada e verificável por computador, junto de um artigo pensado para leitores humanos, se torne prática comum. Kevin Buzzard, que lidera desde 2024 um projeto comunitário de vários anos para formalizar o teorema de Fermat em Lean no Imperial College London — cujo plano de trabalho inicial já soma 86 páginas —, chamou a conquista de um grande passo rumo à autoformalização da literatura matemática moderna: descobrir erros no corpo de conhecimento existente, aliviar a carga dos revisores e permitir checar rigorosamente matemática gerada por IA.

Para uma empresa brasileira de tecnologia, a lição vai além do feito matemático isolado. Os mesmos assistentes de prova que verificaram esse teorema já são usados para verificar protocolos criptográficos, compiladores e código crítico em setores como aviação e projeto de semicondutores — áreas em que o país vem formando cada vez mais pesquisadores em métodos formais, muitas vezes em parceria com universidades públicas. Um agente de IA capaz de produzir milhões de linhas de prova checada por máquina em dias, e não em anos, é um sinal concreto de que a verificação formal, considerada por muito tempo lenta e especializada demais para escalar, pode ficar bem mais acessível a equipes de engenharia fora da matemática pura — desde que, como a própria Anthropic reforça, essa capacidade de verificação nunca seja confundida com a capacidade de descobrir matemática nova de forma autônoma.