Claude يُشكلن برهان مبرهنة فيرما الأخيرة بلغة Lean خلال 11 يومًا

أعلنت شركة Anthropic في 4 سبتمبر 2026 أن الذكاء الاصطناعي Claude التابع لها أنتج أول برهان لمبرهنة فيرما الأخيرة يمكن التحقق منه بالكامل بواسطة الحاسوب، من البداية إلى النهاية. تنص المبرهنة على أنه لا توجد أعداد صحيحة موجبة a وb وc تحقق المعادلة a^n + b^n = c^n لأي عدد صحيح n أكبر من 2. بعد أكثر من ثلاثة عقود من نشر عالم الرياضيات أندرو وايلز برهانه المكوّن من 129 صفحة عام 1995، لم يسبق لأحد أن تحقّق آليًا من صحة منطقه بالكامل. عمل Claude بشكل شبه مستقل لمدة 11 يومًا، وأنتج نحو 13 مليون سطر من الشيفرة بلغة Lean، وهي نظام مساعد للبرهان الحاسوبي.

قاد المشروع تيانيي بينغ، الباحث في Anthropic والمتخصص في الأتمتة الشكلية للرياضيات بالذكاء الاصطناعي. وعلى مدار العمل، برهن Claude على نحو 30300 مبرهنة وسيطة بصيغة قابلة للتحقق حاسوبيًا، استُخدم منها فعليًا نحو 29500 في البرهان النهائي. تجاوز حجم الشيفرة الناتجة خمسة أضعاف حجم Mathlib، وهي المكتبة الرياضية المجتمعية الرئيسية للغة Lean. عمل عشرات من وكلاء Claude بالتوازي على تعريف المفاهيم وبرهنة المبرهنات الوسيطة، قبل الانتقال إلى معالجة قضايا أصعب تدريجيًا. فشلت المحاولات الأولى مرارًا: فقد الوكلاء القدرة على متابعة الحالة العامة للمشروع، وتوقفوا عن إعادة استخدام نتائج بعضهم البعض بفعالية. ويعود نحو 7% من الأسطر غير المتكررة في البرهان النهائي إلى تلك المحاولات الفاشلة.

ما هو البرهان الشكلي الذي يتحقق منه الحاسوب

كثيرًا ما تتجاوز الأوراق البحثية الرياضية الموجهة للقراء البشريين خطوات تُعتبر "بديهية". أما مساعد البرهان مثل Lean فلا يستطيع ذلك: يجب كتابة كل خطوة مهما كانت تافهة بالكامل. تُسمى إعادة كتابة برهان قائم بهذه الصيغة "الأتمتة الشكلية" أو "الشكلنة". وبما أن انقطاع حلقة منطقية واحدة قد يُبطل كل ما يليها، فإن البرهان المُشكلن لا يحصل على ضمان صحة مستقل عن المراجعة البشرية إلا بعد اجتيازه للفحص الآلي في Lean. لا يعتمد برهان Claude إلا على البديهيات القياسية الثلاث في Lean، دون أي استخدام لعلامة "sorry"، وهي العلامة التي تسمح بترك خطوة دون برهنة مؤقتًا. وأكدت أداة مقارنة أن الصياغة التي برهن عليها Claude تطابق تمامًا صياغة مبرهنة فيرما الأخيرة المسجلة في Mathlib، كما تحققت نواة Lean مستقلة مكتوبة بلغة Rust تُدعى "nanoda" من أكثر من مليون تصريح دون أي خطأ.

لماذا تُعد مبرهنة فيرما الأخيرة حالة رمزية

تحمل المبرهنة اسمها من ملاحظة خطّها عالم الرياضيات الفرنسي بيير دو فيرما نحو عام 1637 على هامش نسخة من كتاب "الحساب" لديوفانتوس، زعم فيها أنه اكتشف "برهانًا رائعًا حقًا" لكن الهامش كان أضيق من أن يتّسع له. طوال أكثر من 350 عامًا، بحثت أجيال من علماء الرياضيات عن هذا البرهان دون جدوى. وفي عام 1908، رُصدت جائزة تعادل قيمتها اليوم ما بين مليون ومليوني دولار لمن يقدّم برهانًا صحيحًا، ووردت 621 محاولة خاطئة في السنة الأولى وحدها. وفي يونيو 1993، أعلن أندرو وايلز عن برهانه في سلسلة محاضرات استمرت ثلاثة أيام، لكن بعد نحو شهرين من عملية التحقق، اكتشف أحد المراجعين ثغرة حاسمة. استغرق وايلز، بمساعدة تلميذه السابق ريتشارد تايلور، ما يقارب عامًا لإصلاحها قبل أن ينشر النسخة النهائية في مايو 1995، والتي بلغت 129 صفحة استغرق التحقق منها المجتمع الرياضي شهورًا. ومن اللافت للقارئ الدولي أن تخمين تانياما-شيمورا، الذي يرتكز عليه برهان وايلز، صاغه في خمسينيات القرن الماضي عالما الرياضيات اليابانيان يوتاكا تانياما وغورو شيمورا. وما قام Claude بشكلنته هو نسخة مبسّطة من برهان وايلز أعدّها دارمون ودياموند وتايلور.

هذا الإنجاز اللافت في الأتمتة الشكلية الذاتية، والذي استغرق 11 يومًا فقط بحسب باحثي Anthropic، يبرهن على مبرهنة فيرما الأخيرة دون أي افتراضات تتجاوز بديهيات الرياضيات. وفي هذه العملية، نشهد أتمتة شكلية للجبر والتحليل التوافقي والهندسة ونظرية الأعداد، ونتعلم أن نواتج الأتمتة الشكلية التي ينتجها الذكاء الاصطناعي أصبحت الآن متينة بما يكفي للبناء عليها؛ فالبرهان مُركّب من طبقات متعددة.

• مدة العمل: 11 يومًا، بشكل شبه مستقل
• شيفرة Lean المُنتَجة: نحو 13 مليون سطر، أكثر من 5 أضعاف Mathlib
• المبرهنات المُثبَتة: نحو 30300، استُخدم منها 29500 في البرهان النهائي
• رموز الإخراج المُستهلَكة: نحو 6 مليارات، باستخدام نموذج بحثي مماثل لـ Claude Fable 5.1
• البديهيات المُعتمَدة: البديهيات القياسية الثلاث في Lean فقط، صفر استخدامات لعلامة "sorry"

ما فعله Claude فعليًا — وما لم يفعله

من المهم التوضيح أن Claude لم "يكتشف" برهان وايلز الأصلي بمفرده. فالاستدلال الرياضي نفسه أرساه وايلز وزملاؤه عام 1995؛ أما عمل Claude فتمثّل في إعادة كتابة نسخة مبسّطة من هذا الاستدلال بالصيغة الرمزية الدقيقة التي يمكن لـ Lean التحقق منها، ثم إخضاعها لفحص آلي — وهذه هي "الشكلنة"، لا "الاكتشاف". ويختلف هذا اختلافًا جوهريًا عن أبحاث الذكاء الاصطناعي الأخيرة حول فرضية ريمان، والتي كانت تهدف إلى إنتاج رياضيات جديدة فعليًا. وتوضّح Anthropic صراحة أن الجِدّة هنا تكمن في التحقق، لا في الاكتشاف. اعتمد العمل على منصة Prove2Me، وهي منصة تعاونية للأتمتة الشكلية الرياضية طوّرها تيانيي بينغ، تدير الاعتماديات بين المبرهنات عبر رسم بياني موجّه غير دوري، ليعرف وكلاء Claude المتعددون أي مبرهنة يتعين عليهم معالجتها تاليًا. اقتصر التدخل البشري على تعليمات عالية المستوى من بينغ، مثل "إعطاء الأولوية لليعقوبي بوصفه مخططًا".

كلما أنتج الذكاء الاصطناعي مزيدًا من البراهين الرياضية، ازداد عبء التحقق منها يدويًا. وتتوقع Anthropic أن يصبح من المألوف مستقبلًا إرفاق برهان مُشكلَن قابل للتحقق حاسوبيًا مع أي ورقة بحثية موجهة للقراء البشريين. ووصف كيفن بازارد، الذي يقود منذ عام 2024 مشروعًا مجتمعيًا متعدد السنوات في إمبريال كوليدج لندن لشكلنة مبرهنة فيرما الأخيرة بلغة Lean — والذي بلغت خطة عمله الأولية وحدها 86 صفحة — هذا الإنجاز بأنه خطوة كبيرة نحو الأتمتة الشكلية للأدبيات الرياضية الحديثة، من شأنها كشف الأخطاء في المتن الرياضي القائم، وتخفيف عبء المُحكّمين، وإتاحة التحقق الصارم من الرياضيات التي ينتجها الذكاء الاصطناعي.

بالنسبة لشركة تقنية أو مؤسسة بحثية في العالم العربي، لا يتوقف الدرس المستفاد عند إنجاز رياضي بحت. فمساعدات البرهان نفسها التي تحققت من هذه المبرهنة تُستخدم بالفعل للتحقق من بروتوكولات التشفير وصحة المترجمات، وكذلك الشيفرة الحرجة في مجالات الطيران وتصميم أشباه الموصلات — وهي مجالات بدأت بعض الجامعات والمراكز البحثية في المنطقة، مثل جامعة KAUST في السعودية، الاستثمار فيها ضمن أبحاث الرياضيات وعلوم الحاسوب. وكون وكيل ذكاء اصطناعي قادرًا على إنتاج ملايين الأسطر من البرهان المُتحقَّق منه آليًا في أيام لا سنوات، إشارة ملموسة إلى أن التحقق الشكلي، الذي طالما اعتُبر بطيئًا ومتخصصًا أكثر من اللازم ليتوسع نطاقه، قد يصبح أكثر إتاحة بكثير لفرق الهندسة خارج نطاق الرياضيات البحتة — شريطة ألا يُخلط أبدًا، كما تؤكد Anthropic نفسها، بين قدرة التحقق هذه وبين القدرة على اكتشاف رياضيات جديدة بشكل مستقل.